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2021年綏化

中考數學幾何壓軸題。以正方形為背景，求線段的比值等問題，難度中等。考查了相似與三角函式等知識，值得研究。

【中考真題】

（2021•綏化）如圖所示，四邊形

為正方形，在

中，

，

，

的延長線與

的延長線交於點

，點

、

、

在同一條直線上．

（1）求證：

；

（2）當

時，求

的值；

（3）當

，

時，求

的值．

【分析】

（1）根據SAS易得結論。

（2）根據（1）中的結論。可以得到HB與DE相等，那麼HB與HD的比值就可以轉化為DE與HD的比值，進而可以得到與HE的比值，適當設未知數。設HB為x，可以表示出DE、BD、EH的長，進而得到CD的長。再根據條件可以證明△CEF∽△CDE，那麼代入就可以得到FD與FC的比值。

（3）有了（2）的基礎，也可以利用類似的思路，得到三角形相似△CEF∽△CDE。

求三角函式則考慮構造直角三角形，過點E作CF的垂線，構造直角三角形。設HB為3y，HG為4y，那麼代入就可以得到FC、DC等長，進而得到∠CFE的正弦值。

【答案】

（1）證明：

四邊形

是正方形，

，

，

，

，

即

，

在

和

中，

，

；

（2）解：由（1）得：

，

，

，

四邊形

是正方形，

，

，

，

，

設

，則

，

，

在

中，，

過

作

於

，過

作

於

，如圖1所示：

則

，

的面積

，

，

解得：

，

，

，

，

，

，

；

（3）解：過點

作

交

於

，過點

作

於

，如圖2所示：

，

，

，

四邊形

是正方形，

，

，

，

，

，

，

為等腰直角三角形，

，

由（1）得：

，

，

，

在

和

中，

，

，

，

是等腰直角三角形，

，

，

，

在

中，．