作者，陶哲軒，美國加州大學洛杉磯分校數學教授，2006年菲爾茲獎得主。

翻譯， 盧昌海，科普作家。

原文發表於group blog "Noncommutative Geometry" ， 標題為 “Good Mathematics?”)

譯者序：本文譯自澳大利亞數學家 Terence Tao 的近作 “What is Good Mathematics？”。Tao是調和分析、微分方程、組合數學、 解析數論等領域的大師級的年輕高手。2006 年， 31 歲的 Tao 獲得了數學界的最高獎 Fields 獎，成為該獎項七十年來最年輕的獲獎者之一。

美國數學學會 (AMS) 對 Tao 的評價是：“他將精純的技巧、超凡入聖的獨創及令人驚訝的自然觀點融為一體”。著名數學家Charles Fefferman (1978 年的 Fields 獎得主) 的評價則是：“如果你有解決不了的問題， 那麼找到出路的辦法之一就是引起 Terence Tao 的興趣”。

Tao 雖然已經具有了世界性的聲譽，但由於他的年輕，多數人 （尤其是數學界以外的人） 對他的瞭解仍很有限。Tao 的這篇短文在一定程度上闡述了他的數學觀，在這一點上類似於英國數學家 Godfrey Hardy 的名著《A Mathematician‘s Apology》，相信會讓許多讀者感興趣 （如果哪位讀者想接受 Fefferman 的忠告，讓自己的問題有朝一日引起 Tao 的興趣， 那麼讀一讀這篇文章可能會有所助益。不過 Tao 的這篇文章遠比《A Mathematician’s Apology》難讀得多。 從表面上看， 它不帶任何數學公式， 這點甚至比《A Mathematician‘s Apology》做得更為徹底 （後者還帶有一些 12+12=2 之類的數學公式）， 但實際上， 文章的主要部分 - 即第二節 （對應於譯文 中篇 的全部及 下篇 的大部分） - 所涉及的數學概念相當密集， 足以給非數學專業的讀者造成很大的困難，因此譯文對譯者知識所及且能用簡短方式加以說明的若干概念進行了註釋。本譯文略去了原文的摘要、 文獻及正文中單純與文獻有關的個別文句 （即諸如 “感興趣的讀者請參閱某某文獻” 之類的文句）。本譯文末尾附有 Alain Connes （1982 年的 Fields 獎得主） 在一篇 blog 文字中對 Tao 這篇文章的評論。

數學品質的諸多方面

我們都認為數學家應該努力創造好數學。但 “好數學” 該如何定義？ 甚至是否該斗膽試圖加以定義呢？ 讓我們先考慮前一個問題。 我們幾乎立刻能夠意識到有許多不同種類的數學都可以被稱為是 “好” 的。 比方說， “好數學” 可以指 （不分先後順序）：

好的數學題解 (比如在一個重要數學問題上的重大突破)；

好的數學技巧 (比如對現有方法的精湛運用，或發展新的工具)；

好的數學理論 (比如系統性地統一或推廣一系列現有結果的概念框架或符號選擇)；

好的數學洞察 (比如一個重要的概念簡化，或對一個統一的原理、 啟示、 類比或主題的實現)；

好的數學發現 (比如對一個出人意料、引人入勝的新的數學現象、 關聯或反例的揭示)；

好的數學應用 (比如應用於物理、 工程、計算機科學、統計等領域的重要問題， 或將一個數學領域的結果應用於另一個數學領域)；

好的數學展示 (比如對新近數學課題的詳盡而廣博的概覽，或一個清晰而動機合理的論證)；

好的數學教學 (比如能讓他人更有效地學習及研究數學的講義或寫作風格， 或對數學教育的貢獻)；

好的數學遠見 (比如富有成效的長遠計劃或猜想)；

好的數學品味 (比如自身有趣且對重要課題、主題或問題有影響的研究目標)；

好的數學公關 (比如向非數學家或另一個領域的數學家有效地展示數學成就)；

好的元數學 (比如數學基礎、哲學、歷史、學識或實踐方面的進展)； [譯者注： 此處 “元數學” 譯自 “meta-mathematics”，不過這裡所舉的有些內容，如歷史、實踐等，通常並不屬於元數學的範疇。]

嚴密的數學 (所有細節都正確、細緻而完整地給出)；

美麗的數學 (比如 Ramanujan 的令人驚奇的恆等式；陳述簡單漂亮， 證明卻很困難的結果)；

優美的數學 (比如 Paul Erdős 的 “來自天書的證明” 觀念； 透過最少的努力得到困難的結果)； [譯者注： “來自天書的證明” 譯自“proofs from the Book”。 Paul Erdős 喜歡將最優美的數學證明說成是來自 “The Book” (我將之譯為 “天書”)，他有這樣一句名言：你不一定要相信上帝， 但應該相信 “The Book”。 Erdős 去世後的第三年， 即 1998 年， Martin Aigner 和 Günter M. Ziegler 以《來自天書的證明》為書名出版了一本書， 收錄了幾十個優美的數學證明， 以紀念 Erdős。]

創造性的數學 (比如本質上新穎的原創技巧、觀點或各類結果)；

有用的數學 (比如會在某個領域的未來工作中被反覆用到的引理或方法)；

強有力的數學 (比如與一個已知反例相匹配的敏銳的結果，或從一個看起來很弱的假設推出一個強得出乎意料的結論)；

深刻的數學 (比如一個明顯非平凡的結果，比如理解一個無法用更初等的方法接近的微妙現象)；

直觀的數學 (比如一個自然的、容易形象化的論證)；

明確的數學 (比如對某一型別的所有客體的分類；對一個數學課題的結論)。

如上所述，數學品質這一概念是一個高維的 （high-dimensional） 概念， 並且不存在顯而易見的標準排序［注二］。 我相信這是由於數學本身就是複雜和高維的， 並且會以一種自我調整及難以預料的方式而演化； 上述每種品質都代表了我們作為一個群體增進對數學的理解及運用的不同方式。 至於上述品質的相對重要性或權重， 看來並無普遍的共識。 這部分地是由於技術上的考慮： 一個特定時期的某個數學領域的發展也許更易於接納一種特殊的方法； 部分地也是由於文化上的考慮： 任何一個特定的數學領域或學派都傾向於吸引具有相似思維、 喜愛相似方法的數學家。 它同時也反映了數學能力的多樣性： 不同的數學家往往擅長不同的風格， 因而適應不同型別的數學挑戰。

我相信 “好數學” 的這種多樣性和差異性對於整個數學來說是非常健康的， 因為它允許我們在追求更多的數學進展及更好的理解數學這一共同目標上採取許多不同的方法， 並開發許多不同的數學天賦。 雖然上述每種品質都被普遍接受為是數學所需要的品質， 但犧牲其它所有品質為代價來單獨追求其中一兩種卻有可能變成對一個領域的危害。 考慮下列假想的 （有點誇張的） 情形：

一個領域變得越來越華麗怪異， 在其中各種單獨的結果為推廣而推廣， 為精緻而精緻， 而整個領域卻在毫無明確目標和前進感地隨意漂流。

一個領域變得被令人驚駭的猜想所充斥， 卻毫無希望在其中任何一個猜想上取得嚴格進展。

一個領域變得主要透過特殊方法來解決一群互不關聯的問題， 卻沒有統一的主題、 聯絡或目的。

一個領域變得過於枯燥和理論化， 不斷用技術上越來越形式化的框架來重鑄和統一以前的結果， 後果卻是不產生任何令人激動的新突破。

一個領域崇尚經典結果， 不斷給出這些結果的更短、 更簡單及更優美的證明， 但卻不產生任何經典著作以外的真正原創的新結果。

在上述每種情形下， 有關領域會在短期內出現大量的工作和進展， 但從長遠看卻有邊緣化和無法吸引更年輕的數學家的危險。 幸運的是， 當一個領域不斷接受挑戰， 並因其與其它數學領域 （或相關學科） 的關聯而獲得新生， 或受到並尊重多種 “好數學” 的文化薰陶時， 它不太可能會以這種方式而衰落。 這些自我糾錯機制有助於使數學保持平衡、 統一、 多產和活躍。

現在讓我們轉而考慮前面提出的另一個問題， 即我們到底該不該試圖對 “好數學” 下定義。

下定義有讓我們變得傲慢自大的危險， 特別是， 我們有可能因為一個真正數學進展的奇異個例不滿足主流定義［注三］而忽視它。 另一方面， 相反的觀點 - 即在任何數學研究領域中所有方法都同樣適用並該得到同樣資源［注四］， 或所有數學貢獻都同樣重要 - 也是有風險的。 那樣的觀點就其理想主義而言也許是令人欽佩的， 但它侵蝕了數學的方向感和目的感， 並且還可能導致數學資源的不合理分配［注五］。 真實的情形處於兩者之間， 對於每個數學領域， 現存的結果、 傳統、 直覺和經驗 （或它們的缺失） 預示著哪種方法可能會富有成效， 從而應當得到大多數的資源； 那種方法更具試探性， 從而或許只要少數有獨立頭腦的數學家去進行探究以避免遺漏。 比方說， 在已經發展成熟的領域， 比較合理的做法也許是追求系統方案， 以嚴格的方式發展普遍理論， 穩妥地延用卓有成效的方法及業已確立的直覺； 而在較新的、 不太穩定的領域， 更應該強調的也許是提出和解決猜想， 嘗試不同的方法， 以及在一定程度上依賴不嚴格的啟示和類比。 因此， 從策略上講比較合理的做法是， 在每個領域內就數學進展中什麼品質最應該受到鼓勵做一個起碼是部分的 （但與時俱進的） 調查， 以便在該領域的每個發展階段都能最有效地發展和推進該領域。 比方說， 某個領域也許急需解決一些緊迫的問題； 另一個領域也許在翹首以待一個可以理順大量已有成果的理論框架， 或一個宏大的方案或一系列猜想來激發新的結果； 其它領域則也許會從對關鍵定理的新的、 更簡單及更概念化的證明中獲益匪淺； 而更多的領域也許需要更大的公開性， 以及關於其課題的透徹介紹， 以吸引更多的興趣和參與。 因此， 對什麼是好數學的確定會並且也應當高度依賴一個領域自身的狀況。 這種確定還應當不斷地更新與爭論， 無論是在領域內還是從透過旁觀者。 如前所述， 有關一個領域應當如何發展的調查， 若不及時檢驗和更正， 很有可能會導致該領域內的不平衡。

上面的討論似乎表明評價數學品質雖然重要， 卻是一件複雜得毫無希望的事情， 特別是由於許多好的數學成就在上述某些品質上或許得分很高， 在其它品質上卻不然； 同時， 這些品質中有許多是主觀而難以精確度量的 （除非是事後諸葛）。 然而， 一個令人矚目的現象是［注六］： 上述一種意義上的好數學往往傾向於引致許多其它意義上的好數學， 由此產生了一個試探性的猜測， 即有關高品質數學的普遍觀念也許畢竟還是存在的， 上述所有特定衡量標準都代表了發現新數學的不同途徑， 或一個數學故事發展過程中的不同階段或方面。

個例研究： Szemerédi 定理

現在我們從一般轉向特殊， 透過考察 Szemerédi 定理 - 那個聲稱任何具有正 （上） 密度的整數子集必定包含任意長度算術序列的漂亮而著名的結果 - 的內容及歷史來說明上段所述的現象。 這裡我將避免所有的技術細節。 ［譯者注： 1。 整數子集 A 的 “上” 密度， 指的是 lim supN→∞ |A∩［-N，N］|/2N， 其中序列 aN 的上極限 lim supN→∞ aN 定義為 AN=supk≥N ak 的極限。 2。 算術序列 （在後文中有時被簡稱為序列） 指的是由整陣列成的等差序列， 序列中的整數個數稱為算術序列的長度。］

這個故事有許多個自然的切入點。 我將從 Ramsey 定理 - 任何有限著色的足夠大的完全圖必定包含大的單色完全子圖 （比如任意六人中必有三人要麼彼此相識， 要麼彼此陌生， 假定 “相識” 是一個有良好定義的對稱關係） - 開始。 這個很容易證明 （無需用到比迭代鴿籠原理更多的東西） 的結果代表了一種新現象的發現， 並且開闢了一系列新的數學結果： Ramsey 型定理。 這些定理中的每一個都是數學上一個新近洞察的觀點 “完全無序是不可能的” 的不同表述。 ［譯者注： 1。 完全圖指的是任意兩個頂點間都有邊相連的圖。 2。 鴿籠原理也叫 Dirichlet 抽屜原理， 它最簡單的版本指的是將 n>k 件東西放入 k 個容器中， 其中至少有一個容器含有多於一件東西。］

最早的 Ramsey 型定理之一 （事實上比 Ramsey 定理還早了幾年） 是 van der Waerden 定理： 給定整數集的一個有限著色， 其中必有一個單色類包含任意長度算術序列。 van der Waerden 的高度遞迴的證明非常優美， 但有一個缺點， 那就是它給出的出現第一個給定長度算術序列的定量下界弱得出奇。 事實上， 這個下界含有序列長度和著色種數的 Ackermann 函式。 Erdös 和 Turán 所具有的良好數學品位， 以及希望在 （當時還是猜想的） 素數是否包含任意長度算術序列這一問題上獲取進展的企圖， 使他們對這一定量問題做了進一步的探究［注七］。 他們推進了一些很強的猜想， 其中一個成為了 Szemerédi 定理； 另一個則是一個漂亮 （但尚未證明） 的更強的命題， 它聲稱任何一個倒數和非絕對可和的正整數集都包含任意長度算術序列。 ［譯者注： 1。 譯文 “定量下界” 所對應的原文是比較籠統的 “quantitative bounds” （即未指明是上界還是下界）。 2。 Ackermann 函式 A（m，n） （其中 m、 n 為非負整數） 的遞迴定義是： A（0，n）=n+1； A（m，0）=A（m-1，1）； A（m，n）=A（m-1，A（m，n-1））， 它的增長速度快於任何初等遞迴函式 （包括指數函式）。 3。 Tao 對 Erdös 和 Turán 所提出的 “更強的命題” 的表述略顯冗餘， 其中 “非絕對可和” 可簡化為 “非可和” 或 “發散” （因為他所討論的是正整數集）。］

在這些猜想上的第一個進展是一系列反例， 最終彙集為 Behrend 對不存在長度 3 算術序列的適度稀疏集 （對於任意給定的 ε， 這個集合在 中的密度漸近地大於 N-ε） 的優美構造。 這一構造排除了 Erdös-Turán 猜想中最具野心的部分 （它猜測多項稀疏集包含大量的序列）， 而且還排除了很大一類解決這些問題的方法 （比如那些基於 Cauchy-Schwarz 或 Hölder 之類不等式的方法）。 這些例子雖不能完全解決問題， 但它們表明 Erdös-Turán 猜想若成立， 將需要一個非平凡的 （從而想必是有趣的） 證明。

下一個主要進展來自於 Roth， 他以一種優美的方式運用 Hardy-Littlewood 的圓法［注八］及一種新的方法 （密度增量論證）， 確立了 Roth 定理： 每一個密度為正的整數集都包含無窮多個長度 3 序列。 接下去很自然的就是試圖將 Roth 的方法推廣到更長的序列。 Roth 和許多其他人在這方面花費了好幾年的時間， 卻沒能取得完全的成功。 困難的起因直到很久之後才由於 Gowers 的工作而得到顯現。 問題的解決則依靠了 Endré Szemerédi 的驚人才華， 他重新回到了純粹的組合方法上 （特別是， 把密度增量論證推進到了一個令人矚目的技術複雜度上）， 將 Roth 的結果首先推廣到長度 4［注九］， 然後到任意長度， 從而確立了他的著名定理。 Szemerédi 的證明是一項技術絕活， 它引進了許多新想法和新技巧， 其中最重要的一個是引進了看待極端複雜圖的新方法， 即透過有界複雜模型來取近似。 這一結果， 即著名的 Szemerédi 正規性引理 （Szemerédi regularity lemma）， 在很多方面都引人注目。 如上所述， 它給出了有關複雜圖結構的全新洞察 （在現代術語中， 這被視為那些圖的結構定理和緊緻定理）； 它提供了一種將在本故事後面部分變得至關重要的新的證明方法 ［能量增量方法 （energy increment method）］； 它還導致了從圖論到性質檢驗到加性組合學的數量多得難以置信的意外應用。 可惜的是， 正規性引理的完整故事太過冗長， 無法在這裡加以敘述。 ［譯者注： 1。 密度增量論證 （density increment argument） 的含義在 下篇 中將有所提及。 2。 性質檢驗 （property testing） 是圖論及組合學中一類相當困難的判定問題。 3。 加性組合學 （additive combinatorics） 是一個旨在研究集合中加性結構的數學分支。］

Szemerédi 的成就無疑是本故事的一個重點， 但它絕不是故事的終結。 Szemerédi 對其定理的證明雖然初等， 卻極為複雜、 不易理解。 並且它也沒能完全解決啟發 Erdös 和 Turán 進行研究的原始問題， 因為這一證明本身在兩個關鍵地方用到了 van der Waerden 定理， 從而無法改進該定理中的定量下界。 接下來是 Furstenberg， 他的數學品位使他試圖尋找一種本質上不同的 （高度非初等的［注十］） 證明， 他所依據的是組合數論與各態歷經理論之間富有遠見的類比， 這一類比很快被他表述為很有用的 Furstenberg 對應原理。 從這個原理［注十一］人們可以很容易地得出結論： Szemerédi 定理等價於保測體系中的多重回歸定理， 由此可以很自然地直接運用各態歷經理論中的方法， 特別是透過考察這種體系中各種可能的分類及結構分解 （比如各態歷經分解）， 來證明這一定理 （現在被稱為 Furstenberg 迴歸定理）。 事實上， Furstenberg 很快建立了 Furstenberg 結構定理， 這一定理把所有保測體系都描述為一個平凡體系的一系列緊緻拓展 （compact extension） 的弱混合拓展 （weakly mixing extension）。 在這一定理及幾個附加論證 （包括 van der Waerden 論證的一個變種） 的基礎上可以確立多重回歸定理， 從而給出 Szemerédi 定理的一個新的證明。 同樣值得一提的是 Furstenberg 還撰寫了有關這一領域及相關課題的優秀著作， 在對這一領域的成長及發展做出重大貢獻的同時對基礎理論作了系統的形式化。

Furstenberg 與其合作者隨後意識到這一新方法所具有的強勁潛力可以用來確立許多型別的迴歸定理， 後者 （透過對應原理） 又可以產生一些高度非平凡的組合定理。 順著這一思路， Furstenberg、 Katznelson 及其他人獲得了 Szemerédi 定理的許多變種和推廣， 比如高維空間的變種， 他們甚至確立了 Hales-Jewett 定理的密度版本 （這是 van der Waerden 定理的一個非常有力及抽象的推廣）。 這些透過無窮各態歷經理論技巧所獲得的結果中的許多， 人們至今也不知道是否存在 “初等” 證明， 這證實了這種方法的力量。 不僅如此， 作為這些努力的一個有價值的副產品， 人們還獲得了對保測體系結構分類的深刻得多的理解。 特別是， 人們意識到對於許多型別的迴歸問題， 一個任意體系的漸進迴歸性質幾乎完全由該體系的一個特殊因子所控制， 這個因子被稱為該體系的 （最小） 特徵因子［注十二］。 確定各類迴歸中這一特徵因子的精確性質於是便成為了研究的焦點， 因為這將導致有關極限行為的更精確的資訊 （特別是， 它將顯示與多重回歸有關的某些漸進表示式實際上收斂於一個極限， 這在 Furstenberg 的原始論證中是懸而未決的）。 Furstenberg 和 Weiss 的反例， 及 Conze 和 Lesigne 的結果， 逐漸導致一個結論， 即這些特徵因子應該由一個非常特殊的 （代數型的） 保測體系， 即與冪零群 （nilpotent group） 相聯絡的零系統 （nilsystem）， 來描述。 這些結論的集大成者是對這些因子給予精確及嚴格描述的技術上引人注目的 Host 和 Kra 的論文 （及隨後的 Ziegler 的論文）， 它在得到其它一些結果的同時解決了剛才提到的漸進多重回歸平均的收斂性問題。 這些特徵因子所扮演的核心角色相當充分地表明瞭存在於 （由零系統所表示的） 結構與 （由某些技術型的 “混合” 性質所刻劃的） 隨機性之間的二向性 （dichotomy）， 以及一種深刻的見解， 即 Szemerédi 定理的力量實際上是源於這一二向性。 Host-Kra 分析的另一個值得一提的特點是平均概念在 “立方體” 或 “超平行體” 中令人矚目的出現， 出於一些原因， 它比與算術序列有關的多重回歸平均更易於分析。 ［譯者注： 1。 Hales-Jewett 定理的大致內容是： 如果用 m 種顏色來給一個邊長為 n 的多維點陣著色， 那麼只要點陣的維數足夠高， 就必定存在同色的長度為 n 的行、 列、 對角線等。 2。 “dichotomy” 在數學與邏輯中通常譯為二分法， 不過在本文中似以譯成 “二向性” 或 “二重性” 為佳， 因為 “二分法” 這一譯名過於強調兩種性質之間的區分而非聯絡。］

與這些各態歷經理論的進展相平行， 其他數學家則在尋找用別的方式來理解、 重新證明及改進 Szemerédi 定理。 Ruzsa 和 Szemerédi 取得了一個重要的概念突破， 他們用上面提到的 Szemerédi 正規性引理確立了一些圖論中的結果， 包括現在被稱為三角消除引理 （triangle removal lemma） 的引理， 其大致內容是說一個包含少數三角形的圖中的三角形可以透過刪除數目少得令人驚訝的邊而消除。 他們隨後發現前面提到的 Behrend 例子對這一引理的定量下界給出了某種極限， 特別是它排除了許多型別的初等方法 （因為那些方法通常給出多項式型的下界）， 事實上迄今所知消除引理的所有證明都是透過正規性引理的某些變種。 將這一聯絡反過來應用， 人們發現其實三角消除引理蘊含了 Roth 關於長度 3 序列的定理。 這一發現首次開啟了透過純圖論技巧證明 Szemerédi 型定理的可能性， 從而拋棄了問題中幾乎所有的加性結構 （注意各態歷經方法仍然保留了這一結構， 以作用在系統上的移位算符的面目而出現； Szemerédi 的原始證明也只是部分是圖論的， 因為它在許多不同環節用到了序列的加性結構）。 不過， 一段時間之後人們才意識到圖論方法與先於它出現的 Fourier 分析方法在很大程度上侷限於檢測象三角形或長度 3 序列那樣的 “低複雜度” 結構， 檢測更長的序列將需要複雜得多的超圖理論。 特別是， 這啟示了 （由 Frankl 和 Rödl 率先提出的） 一個計劃， 意在尋找超圖理論中正規性引理的類比， 這將足以產生象 Szemerédi 定理 （及其變種和推廣） 那樣的推論。 這被證明是一項複雜得令人吃驚的工作， 尤其是要仔細安排這種正規化中引數的等級［注十三］， 使之以正確的順序相互主導。 事實上， 能夠從中推出 Szemerédi 定理的正規性引理及與之相伴的記數引理 （counting lemma） 的最終證明直到最近才出現。 Gowers 的很有教益的反例也是值得一提的， 它表明原始的正規性引理中的定量下界必須至少是塔狀指數形式 （tower-exponential）， 從而再次顯示這一引理非同尋常的性質 （和力量）。 ［譯者注： 1。 三角形消除引理中的 “少得令人驚訝” 是相對於三角形的數目而言的， 它指的是用刪除 O（n2） 條邊來消除 O（n3） 個三角形。 2。 超圖 （hypergraph） 是普通圖的推廣， 在其中邊可以連線兩個以上的頂點 （類似於多元關係）。］

自 Roth 之後未曾有實質進展的 Fourier 分析方法最終由 Gowers 做了重新考察。 和其它方法一樣， Fourier 分析方法首先確立了整數集中的二向性， 即他們在某種意義上要麼是有結構的， 要麼是偽隨機的。 這裡的結構這一概念是由 Roth 提出的： 有結構的集合在中等長度算術序列上有一個密度增量， 但有關偽隨機或 “均勻性” 的正確概念卻沒那麼清楚。 Gowers 提出了一個反例 （事實上這一反例與前面提到的 Host 與 Kra 的例子有著密切的關係）， 表明以 Fourier 分析為基礎的偽隨機概念對於控制長度 4 或更長的序列是不夠的， 他隨後引進了一個滿足需要的不同的均勻性概念 （與 Host 和 Kra 的立方體平均有很密切的關係， 與某些超圖正規性的概念也有關係）。 剩下的工作就是為二向性確立一個定量且嚴格的形式。 這卻是一項困難得出人意料的工作 （主要是由於這一方法中 Fourier 變換的效用有限）， 並且在許多方面與 Host-Kra 及 Ziegler 試圖將特徵因子賦予零系統代數結構的努力相類似。 但是， 透過將 Fourier 分析工具與諸如 Freiman 定理和 Balog-Szemerédi 定理等加性組合學的主要結果， 及一些新的組合與機率方法結合在一起， Gowers 用令人矚目的高超技巧成功地完成了這一工作， 他並且得到了有關 Szemerédi 定理和 van der Waerden 定理的非常強的定量下界［注十四］。 ［譯者注： Freiman 定理是一個有關具有小和集的整數集中算術序列性質的定理 （一個整數集 A 的和集 A+A 是由該整數集本身及其中任意兩個數的和組成的集合， 小和集則是指 |A+A| ）。

總結起來， 人們給出了 Szemerédi 定理的四種平行的證明； 一種是透過直接的組合方法， 一種是透過各態歷經理論， 一種是透過超圖理論， 還有一種是透過 Fourier 分析及加性組合學。 即便有了這麼多的證明， 我們依然覺得有關自己對這一結果的理解還不完全。 比方說， 這些方法中沒有一種強到能夠檢測素數中的序列， 這主要是由於素數序列的稀疏性 （不過， Fourier 方法， 或更確切地說 Hardy-Littlewood-Vinogradov 圓法， 可以用來證明素數中存在無窮多長度 3 序列， 並且在付出很大努力後可以部分地描述長度 4 序列）。 但是透過調和分析中的限制理論 （這是另一個我們將不在這裡討論的引人入勝的故事）， Green 能夠將素數 “當成” 稠密來處理， 由此得到了一個有關素數稠密子集的類似於 Roth 定理的結果。 這為相對 Szemerédi 定理 （relative Szemerédi theorem） 開啟了可能性， 使人們能檢測整數集以外的其它集合， 比如素數， 的稠密子集中的算術序列。 事實上， 一個與相當稀疏的隨機集合的稠密子集有關的相對 Roth 定理 （relative Roth theorem） 的原型已經出現在了圖論文獻中。

在與 Ben Green 的合作［注十五］中， 我們開始試圖將 Gowers 的 Fourier 分析及組合論證方法相對化到諸如稀疏隨機集合或偽隨機集合的稠密子集這樣的情形中。 經過許多努力 （部分地受到超圖理論的啟示， 它已被很好地用來計算稀疏集合中的結構； 也部分地受到 Green 正規性引理的啟示， 它將圖論中的 “算術正規性引理” 轉用到了加性理論中）， 我們逐漸能夠 （在一項尚未發表的工作中） 檢測這類集合中的長度 4 序列。 這時候， 我們意識到了我們所用的正規性引理與 Host-kra 有關特徵因子的構造之間的相似性。 透過對這些構造的置換［注十六］ （特別依賴於立方體平均）， 我們可以確立一個令人滿意的相對 Szemerédi 定理， 它依賴於一個特定的轉化原理 （transference principle）， 粗略地說， 該原理斷言稀疏偽隨機集合的稠密子集的行為 “就好比” 它們在初始集合中就是稠密的。 為了將這一定理應用於素數， 我們需要將素數包裹在一個適當的偽隨機集合 （或者更確切地說， 偽隨機測度） 中。 對我們來說很偶然的是， Goldston 和 Yildirim 最近有關素數隙的突破［注十七］［注十八］幾乎恰好構造了我們所需要的東西， 使我們最終確立了早年的猜想， 即素數集包含任意長度的算術序列。 ［譯者注： 1。 這裡提到的 Tao 與 Green 合作所得的結果 “素數集包含任意長度的算術序列” 被稱為 Green-Tao 定理。 2。 這裡提到的 Goldston 和 Yildirim 的工作， 及原文 ［注十七］ 提到的故事可參閱拙作 孿生素數猜想 及該文末尾的補註。］

故事到這裡仍未結束， 而是繼續沿幾個方向發展著。 一方面轉化原理現在已經有了一些進一步的應用， 比如獲得高斯素數中的組團 （constellation） 或有理素數中的多項序列。 另一個很有前途的研究方向是 Fourier 分析、 超圖理論及各態歷經方法的彼此匯聚， 比如發展圖論與超圖理論的無窮版本 （它在其它數學領域， 如性質檢驗， 中也有應用）， 或各態歷經理論的有限版本。 第三個方向是使控制各態歷經情形下的迴歸的零系統也能控制算術序列的各種有限平均。 特別是， Green 和我正在積極地計算素數及由零系統 （透過 Vinogradov 方法） 產生的序列之間的關聯， 以便確立能夠在素數中找到的各種結構的精確漸進形式。 最後， 但並非最不重要的是最初的 Erdös-Turán 猜想， 它在所有這些進展之後仍未得到解決， 不過現在 Bourgain 已經取得了一些非常有希望的進展， 這應該能引匯出進一步的發展。 ［譯者注： 1。 高斯素數 （Gaussian prime） 是素數概念在高斯整數集 （即形如 m+ni 的複數組成的集合， 其中 m、 n 均為整數） 中的推廣。 2。 有理素數 （rational prime） 是普通素數在高斯整數集中的稱謂。］

結論

如我們在上述個例研究中可以看到的， 好數學的最佳例子不僅滿足本文開頭所列舉的數學品質判據中的一項或多項， 更重要的， 它是一個更宏大的數學故事的一部分， 那個故事的展開將產生許多不同型別的進一步的好數學。

實際上， 人們可以將整個數學領域的歷史看成是主要由少數幾個這類好故事隨時間的演化及相互影響所產生的。 因此我的結論是， 好數學不僅僅是用前面列舉的一個或幾個 “區域性” 品質來衡量的 （儘管那些品質無疑是重要且值得追求與爭論的）， 還要依賴於它如何透過繼承以前的成果或鼓勵後續發展來與其它好數學相匹配這樣更 “全域性” 的問題。 當然， 如果不憑藉後見之利， 要確切地預言什麼樣的數學會具有這種品質是困難的。 不過實際上似乎存在某種無法定義的感覺， 使我們能感覺到某項數學成果 “觸及了什麼東西”， 是一個有待進一步探索的更大謎團的一部分。 在我看來， 追求這種對發展潛力的難以言狀的保障， 對數學進展來說起碼是與前面列舉的更具體更顯然的數學品質同等重要的。 因此我相信， 好數學並不是單純的解題、 構築理論、 對論證進行簡化、 強化、 明晰化、 使論證更優美、 更嚴格， 儘管這些無疑都是很好的目標。 在完成所有這些任務 （及爭論一個給定領域中哪一個應該有較高的優先權） 的同時， 我們應該關注我們的結果所可能從屬的任何更大的範圍， 因為那很可能會對我們的結果、 相應的領域， 乃至整個數學產生最大的長期利益。

註釋

［注一］ 上述列舉無意以完備自居。 尤其是， 它主要著眼於研究性數學文獻中的數學， 而非課堂、 教材或自然科學等接近數學的學科中的數學。

［注二］ 特別值得指出的是數學嚴格性雖然非常重要， 卻只是界定高品質數學的因素之一。

［注三］ 一個相關的困難是， 除了數學嚴格性這一引人注目的例外， 上述品質大都有點主觀， 因而含有某種不精確性與不確定性。 我們感謝 Gil Kalai 強調了這一點。

［注四］ 稀缺資源的例子包括錢、 時間、 注意力、 才能及頂尖刊物的版面。

［注五］ 這一問題的另一個解決方法是利用數學資源也是多維這一事實。 比如人們可以為展示、 創造性等等設立獎項， 或為不同型別的成果設立不同的雜誌。 我感謝 Gil Kalai 對這一點的洞察。

［注六］ 這一現象與 Wigner 所發現的 “數學的不合理有效性” （unreasonable effectiveness of mathematics） 有一定的關聯。 ［譯者注： Wigner 的這一說法見於他 1960 年發表的文章 “The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences”。］

［注七］ Erdös 也研究了 Ramsey 原始定理中的定量下界， 由此導致的結果中包括了對在組合學中極其重要的機率方法的確立， 不過這本身就是一個很長的故事， 我們沒有足夠的篇幅在這裡討論。

［注八］ 同樣， 圓法的歷史也是一段我們無法細述的精彩故事。 不過只要提這樣一點就足夠了， 那便是用現代語言來說， 這一方法是 “Fourier 分析是解決加性組合學問題的重要工具” 這一現代標準見解的一部分。

［注九］ 在這之後， Roth 很快就將 Szemerédi 的想法與他自己的 Fourier 分析方法組合在一起， 給出了針對長度 4 序列的 Szemerédi 定理的混合證明。

［注十］ 比方說， 某些版本的 Furstenberg 論證嚴重依賴於選擇公理， 儘管將之修改為不依賴選擇公理也是可能的。

［注十一］ 對拓撲動力系統也存在類似的對應原理將 van der Waerden 定理與多重回歸定理等價起來。 這引出了有關拓撲動力學的迷人故事。

［注十二］ 這方面的早期例子是 von Neumann 的平均各態歷經定理， 在其中移位不變函式 （shift-invariant function） 的因子控制了移位簡單平均的極限行為。

［注十三］ 這一等級看來與 Furstenberg 在其使保測體系 “正規化” 的類似探索中所遇到的一系列拓展有關， 儘管我們現在對其確切關聯還了解得很少。

［注十四］ 同樣值得一提的是 Shelah 有關 van der Waerden 定理的傑出的創造性證明， 它曾經保持著有關這一定理的最佳常數的紀錄。

［注十五］ 順便說一下， 我最初被這些問題所吸引是因為它們與另一個重大的數學故事， 我們在此處沒有篇幅討論的 Kakeya 猜想， 之間的聯絡。 它們與前面提到的有關限制理論的故事之間的關係則是多少有點出人意料的。

［注十六］ 出於幾個原因， 這裡有一點技巧性。 最明顯的是各態歷經構造本質上是無窮的， 但為了處理素數卻必須在有限的情況下使用。 幸運的是， 我曾經嘗試過將各態歷經方法有限化以便應用於 Szemerédi 定理。 雖然那一嘗試在當時並不完全， 但後來發現它足以對我們研究素數提供幫助。

［注十七］ 在我們寫論文的時候， 我們所採用的構造來自於 Goldston 和 Yıldırım 的一篇文章， 那篇文章曾因為一個與我們工作無關的缺陷而被他們收回， 後來他們透過一些聰明的新想法彌補了缺陷。 這對我們前面提到的一個觀點， 即一項數學工作不一定要在所有細節上都絕對正確才能對未來的 （嚴密） 工作有所助益， 是一種支援。

［注十八］ 有關素數隙的故事也是一個我們無法在這裡講述的有趣的故事。

附錄： Alain Connes 的評論 (2007-02-19)

。。。 。。。 很難評論 Tao 的這篇文章， 第二部分有關 Szemeredi 定理的個例不錯且很有趣， 但第一部分有那種藝術家試圖透過一系列標準來定義美的痛苦意味。 這種型別的判斷是如此主觀， 我很真切地感到除了顯而易見的傲慢自大外沒學到任何東西 。。。 。。。 ［譯者注： Connes 提到的這種 “傲慢自大” Tao 自己也提到了， 並試圖予以說明 （本譯文 上篇 最後兩段）， 但看來說明是徒勞的。 還是 Hardy 看得比較透徹， 他說： “對一位職業數學家來說， 發覺自己在 writing about mathematics 是一種鬱悶的感覺”， Hardy 自己雖然也做了這件 “鬱悶” 的事， 但那時他已經 63 歲， 比 Tao 大了一倍。］

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