原文作者：Christian Stump
機器學習工具已被用於輔助數學研究中通常依賴人類直覺和創造力的部分，並在兩個不同的數學領域中各產生了重要結果。
自古以來，數學家會透過研究個例來提出新的理論。例如，觀察過立方體和稜錐之後，人們會發現頂點數、邊數和麵數是相關聯的。數學家辨認出這種規律後，將其推廣到更普遍的形狀，然後開始思考這種關係為什麼可能成立。這個過程部分涉及計算，自從1960年代數學軟體出現之後就在這方面派上了用場。但數學家得以直覺性地理解去哪裡找規律是拜人類創造性所賜。在本期《自然》中，Davies等人描述了一種方法，使用人工智慧（AI）技術輔助數學研究過程中的創造性核心［1］。
人們早在好幾個世紀前就研究出凸多面體（表面為平面，稜為直線，頂點都向外凸出的三維形狀）各個性質之間的關係了，描述這一關係的公式則得名於瑞士數學家萊昂哈德·尤拉。無論是哪種形狀，頂點的數量（V）減去邊的數量（E）再加面的數量（F）等於2：V-E+F=2（參見圖1）。利用紙筆，你能通過幾個不同的多面體個例得到這個公式嗎？具體在這個定理上是可能的；但更復雜的數學思想就需要更大量的計算——而計算機在此極為有用。
圖1 | 透過研究個例提出數學理論的迴圈。
在識別出數學物件——例如凸多面體（表面為平面，稜為直線，頂點都向外凸出的三維形狀）——性質中的一個可能模式之後，數學家一般會透過一個迴圈流程來理解這一模式。他們首先會計算一些簡單個例的性質，並分析出這些性質之間可能的關係。研究者們接下來會總結這些關係。例如，他們總結出的可能是尤拉定理，凸多面體頂點數（V）減去邊數（E）加上面數（F）等於2：V-E+F=2。然後他們會用更復雜的例子驗證這一關係，去掉無關的性質，再試著理解該關係為什麼成立。如果還是不清楚的話，數學家接下來會考慮不同的例子，從頭開始迴圈。Davies等人［1］的文章說明了機器學習技術可以幫助研究者進行總結的步驟，而這一步通常極其依賴人類的直覺。
透過尋找和研究個例而進行的數學研究一般會遵循一種迴圈流程（參見圖1）。首先，研究者找出幾個相關的個例（立方體，稜錐，可能再加上十二面體），然後計算出一些性質，分析其間可能的關係。接下來就要總結這些關係，直到某種規律出現。研究者們的下一步是用更復雜的例子驗證這些關係（從二十面體到更大的隨機凸多面體），並去掉無關的性質。如果驗證出關係不能成立，或是如果關係成立的理由尚不清楚，那麼研究者們就要重新定義尋找個例的標準。然後從頭開始迴圈。
這一流程中，除了一個例外，其他步驟都既需要人類的創造力，又需要計算力。例如，想要分析所選取的個例的性質，就需要利用創造力來識別哪些性質可能相關，然後對這些性質進行計算。唯一沒有計算要求的是總結那步，而它可以被認為是創造性流程的核心。這一步要求研究者從具體的個例中提取出一般現象——主要基於直覺。對於多面體來說，這一步驟可能是要將上文中紙筆做的計算擴充套件到不同維度：同樣的模式對二維圖形仍然成立嗎？對更高維度呢？
雖然AI方法在數學研究中尚未普及，但在之前的幾年裡已經有多個研究組發表過成果，證明機器學習工具在理論上可以用來從大資料集裡面找出相關的個例［2，3］。還有的研究組為了更好地理解這些資料集，使用相關工具估算數學物件的性質，並且準確率很高［4］。Davies和同事則表明，機器學習可以用來輔助研究者進行研究迴圈中“總結”的步驟，而這一步之前一直被認為主要基於人類的直覺。他們的方法理論上可以應用在數學的許多不同領域。
他們的想法是從一類數學物件的性質出發，先找出兩組結構——可能是數字列表或是網路。隨後就能假設兩組結構間存在某種相關性，其中一個結構可以提供關於另一結構的資訊。使用機器學習對大資料集進行這項工作十分理想，因為它可以使用一個結構去猜測另一個結構的細節，其結果點準確性比基於機率要高。
Davies和同事們的方法可以用尤拉定理做一個簡單示範。在這個例子裡，第一個結構是一組四個數，表示多面體的頂點數、邊數、表面積和體積。第二個結構是面數。尤拉公式可以寫成這兩個結構之間簡單的線性關係。在得出和尤拉公式相同結論的過程中，也清楚表明體積和表面積是兩個無關的量。使用這一做法來研究尤拉公式很簡單，但如果關係式不像這麼一目瞭然的話，情況會複雜得多。這時，機器學習技術就能幫上忙。
作者們成功將他們的技術應用在兩個不同的數學領域中，足以證明其成果的進展。他們使用這項技術識別出了紐結理論和組合表示論中此前未知的關係。兩個結論對各自領域中的研究者來說並非遙不可及，但它們確實有著領域專家們此前尚未發現的洞見。因此，該成果並不僅僅是抽象的框架。雖然它是否能更為廣泛地應用尚不確定，但Davies等人已經給出了一份前途光明的演示，告訴我們能如何使用機器學習工具輔助數學研究中的創造性過程。
封面來源：pixabay
參考文獻：
1。 Davies， A。et al。 Nature
600
， 70–74 （2021）。
2。 Peifer， D。， Stillman， M。 & Halpern-Leistner， D。Proc。 Mach。 Learn。 Res。
119
， 7575–7585 （2020）。
3。 Lample， G。 & Charton， F。 Preprint at https：//arxiv。org/abs/1912。01412 （2019）。
4。 He， Y。-H。The Calabi–Yau Landscape： From Geometry， toPhysics， to Machine Learning（Springer， 2021）。
原文以Artificial intelligence aids intuition in mathematical discovery為標題發表在2021年12月1日《自然》的新聞與觀點版塊上
© nature
doi: 10.1038/d41586-021-03512-4
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