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2021年寧波

中考數學壓軸題，題目難度較大，涉及相似三角形有關的知識，需要適當構造輔助線，可以好好學習一下。

【中考真題】

（2021•寧波）如圖1，四邊形

內接於

，

為直徑，

上存在點

，滿足

，連結

並延長交

的延長線於點

，

與

交於點

．

（1）若

，請用含

的代數式表示

．

（2）如圖2，連結

，

．求證：

．

（3）如圖3，在（2）的條件下，連結

，

．

①若

，求

的周長．

②求

的最小值．

【分析】

（1）根據弧AE與弧CD的關係，得到對應的圓周角相等，進而在直角三角形ABG中可以得到∠AGB與α之間的關係。

（2）證明線段相等，可以考慮證明全等。本題只需根據ASA證明△BGD與△CEF全等即可。

（3）①已知AD的值與∠ADB的正切值，即可得到△ADB的邊長。根據前面的結論，易得BG=CE=AD，進而求出所有的邊長。連線DE，在Rt△BDE中可以得到DE的長，進而求出△FGD的周長。

②求最值則需要表示出CG的長。但CG無法直接求得CG的長。可以考慮構造直角三角形，利用相似或勾股等知識進行求解。過點C作CG垂直BF於H，易得△ABD與△CHF全等，發現這是一個射影定理的模型，根據△BHC與△CHF相似，可以設未知數表示出CG的平方即可。

【答案】

解：（1）

為

的直徑，

，

，

，

；

（2）

為

的直徑，

，

，

，

，

，

，

又

，

，

，

；

（3）①如圖，連線

，

為

的直徑，

，

在

中，

，

，

，

，

，

即

，

，

，

，

在

中，

，

，

，

，

在

中，

，

，

，

在

中，

，

，

的周長為

；

②如圖，過點

作

於

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

設

，

，

，

在

中，

，

，

當

時，

的最小值為3，

的最小值為

．