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2021年武漢

中考數學幾何壓軸題。題目涉及共頂點的兩個相似三角形，求線段的數量關係，涉及全等與相似。難度不大。

【中考真題】

（2021•武漢）

問題提出

如圖（1），在

和

中，

，

，

，點

在

內部，直線

與

交於點

．線段

，

，

之間存在怎樣的數量關係？

問題探究

（1）先將問題特殊化如圖（2），當點

，

重合時，直接寫出一個等式，表示

，

，

之間的數量關係；

（2）再探究一般情形如圖（1），當點

，

不重合時，證明（1）中的結論仍然成立．

問題拓展

如圖（3），在

和

中，

，

，

是常數），點

在

內部，直線

與

交於點

．直接寫出一個等式，表示線段

，

，

之間的數量關係．

【分析】

問題探究

（1）如圖（2），透過全等可以進行線段的轉化，易得BF=BE+EF，而AF=BE，DE=√2CF，因此代入即可。

（2）如圖（1），此時不重合，但是仍然可以轉化。仍然有BE=BE+EF，但是AF與BE不相等，因此需要適當構造才行，可以考慮在BF上面擷取線段BG=AF，進而得到與上面小題一樣的結論。

問題拓展

（3）此時條件中沒有全等三角形，但是可以得到相似比為k的相似三角形，可以參考上題的解法構造輔助線，在BF上面擷取BG=kAF即可。再利用勾股定理得到GF與CF的關係，代入求解即可。

【答案】

解：（1）如圖（2），

，

，

，

，

，

，

，

，

而點

、

重合，故

，

而

為等腰直角三角形，

故

，

則；

即

；

（2）如圖（1），由（1）知，

，

，

，

過點

作

交

於點

，

，

，

，

，

，

，

，

，

故

為等腰直角三角形，則

，

則

，

即

；

（3）由（2）知，

，

而

，

，

即

，

，

，

過點

作

交

於點

，

由（2）知，

，

，

，

則

，

，

在

中，，

則，

即

．