知識點：
1、集合的概念
集合中的元素具有確定性、互異性和無序性，其中互異性的應用比較廣泛，是重點。
互異性，即集合中的元素互不相同。
何時驗證互異性：用列舉法表示的集合，當集合中的元素含有字母的時候，求出字母的值後，一定要驗證互異性。
驗證的方法是：把字母的值帶入集合，如果集合中有相同的元素，則此值不合題意，應捨去，反之，此值符合題意。
2、常用數集及記法
N表示自然數集；N*或N+表示正整數集；Z表示整數集；Q表示有理數集；R表示實數集。
3、元素與集合間的關係
物件a與集合M間的關係是：若a在集合M中，則a屬於M，若a不在集合M中，則a不屬於M。
4、集合的表示法
①列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，寫在一個大括號內，就表示一個集合，例如集合：。
②描述法：，例如集合：。
遇到描述法表示的集合，一定要先弄明白代表元素的含義。
例如：集合，代表元素是x，x是方程ax﹣1＝0中的未知數，所以這個集合中的元素就是方程ax﹣1＝0的解。
③圖示法：用數軸和韋恩圖來表示集合，常在需要使用數形結合的解題過程中使用。
5、集合的分類
含有有限個元素的集合叫有限集；含有無限個元素的集合叫無限集；不含有任何元素的集合叫空集。
影片教學：
練習：
1。用符號“”或“”填空：
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）； （6）。
2。下列的集合中，哪些是有限集？哪些是無限集？
（1）使得式子有意義的所有實陣列成的集合；
（2）使得式子有意義的所有自然陣列成的集合；
（3）方程的所有實數解組成的集合。
3。用列舉法表示下列集合：
（1）我國古代四大發明組成的集合；
（2）大於2且小於15的所有素陣列成的集合；
（3）。
4。用描述法表示下列集合：
（1）小於1500的正偶陣列成的集合；
（2）所有矩形組成的集合。
課件：
教案：
整體設計
教學分析
教材藉助例項給出了集合的表示方法——列舉法和描述法，這是用集合語言表達數學物件所必需的基本知識．教學中要注意引導學生，透過例項，從觀察分析集合的元素入手，選擇合適的方法表示集合．注意引導學生區分兩種表示集合的方法．學習集合語言最好的方法是運用．在教學中，要創造機會讓學生運用集合的特徵性質描述一些集合，如數集、解集和一些基本圖形的集合等．
三維目標
1．掌握集合的表示法——列舉法和描述法，使學生正確把握集合的元素構成與集合的特徵性質的關係，從而可以更準確地認識集合．
2．能選擇適當的方法表示給定的集合，提高學生分析問題和解決問題的能力．
重點難點
教學重點：集合的表示法．
教學難點：集合的特徵性質的概念以及運用特徵性質描述法正確地表示一些簡單的集合．
課時安排
1課時
教學過程
推進新課
as4alco1（新知探究）
as4alco1（提出問題）
①上節所說的集合是如何表示的？
②閱讀課本中的相關內容，並思考：除字母表示法和自然語言之外，還能用什麼方法表示集合？
③集合共有幾種表示法？
活動：①學生回顧所學的集合並作出總結．教師提示可以用字母或自然語言來表示．
②教師可以舉例幫助引導：
例如，24的所有正約數構成的集合，把24的所有正約數寫在大括號“{}”內，即寫出為的形式，這種表示集合的方法是列舉法．注意：大括號不能缺失；有些集合所含元素個數較多，元素又呈現出一定的規律，在不至於發生誤解的情況下，亦可用列舉法表示，如：從1到100的所有整陣列成的集合：，自然數集N：；區分a與：表示一個集合，該集合只有一個元素，a表示這個集合的一個元素；用列舉法表示集合時不必考慮元素的前後次序，相同的元素不能出現兩次．
又例如，不等式x－3＞2的解集，這個集合中的元素有無數個，不適合用列舉法表示．可以表示為或，這種表示集合的方法是描述法．
③讓學生思考總結已經學習了的集合表示法．
討論結果：①方法一（字母表示法）：大寫的英文字母表示集合，例如常見的數集N、Q，所有的正方形組成的集合記為A等等；
方法二（自然語言）：用文字語言來描述出的集合，例如“所有的正方形”組成的集合等等．
②列舉法：把集合中的全部元素一一列舉出來，並用大括號“{}”括起來表示集合，這種表示集合的方法叫做列舉法．
描述法：在大括號內先寫上表示這個集合元素的一般符號及其取值（或變化）範圍，再畫一條豎線，在豎線後寫出這個集合中元素所具有的共同特徵．這種用集合所含元素的共同特徵表示集合的方法叫做描述法．注：在不致混淆的情況下，也可以簡寫成列舉法的形式，只需去掉豎線和元素代表符號，例如：所有直角三角形的集合可以表示為，也可以寫成{直角三角形}．
③表示一個集合共有四種方法：字母表示法、自然語言、列舉法、描述法．
as4alco1（應用示例）
思路1
例1 用列舉法表示下列集合：
（1）A＝；（2）B＝．
解：（1）A＝；（2）B＝．
點評：本題主要考查集合表示法中的列舉法．透過本題可以體會利用集合表示數學內容的簡潔性和嚴謹性，以後我們儘量用集合來表示數學內容．
如果一個集合是有限集，並且元素的個數較少時，通常選擇列舉法表示，其特點是非常明顯地表示出了集合中的元素，是常用的表示法．
列舉法表示集合的步驟：（1）用字母表示集合；（2）明確集合中的元素；（3）把集合中所有元素寫在大括號“{}”內，並寫成A＝{……}的形式。
例2 用描述法表示下列集合：
（1）{－1，1}；
（2）大於3的全體偶數構成的集合；
（3）在平面α內，線段AB的垂直平分線．
解：（1）這個集合的一個特徵性質可以描述為絕對值等於1的實數，即|x|＝1。
於是這個集合可以表示為．
（2）這個集合的一個特徵性質可以描述為x＞3，且x＝2n，n∈N。
於是這個集合可以表示為．
（3）設點P為線段AB的垂直平分線上任一點，點P和線段AB都在平面α內，則這個集合的特徵性質可以描述為PA＝PB。
於是這個集合可以表示為{點P∈平面α|PA＝PB}．
點評：描述法表示集合的步驟：（1）用字母分別表示集合和元素；（2）用數學符號表達集合元素的共同特徵；（3）在大括號內先寫上集合中元素的代表符號及取值（或變化）範圍，再畫一條豎線，在豎線後寫出這個集合中元素所具有的共同特徵．並寫成A＝{…|…}的形式．描述法適合表示有無數個元素的集合．
注意：當集合中的元素個數較少時，通常用列舉法表示，否則用描述法表示。
思路2
例1 用列舉法表示下列集合：
（1）小於5的正奇陣列成的集合；
（2）能被3整除且大於4小於15的自然陣列成的集合；
（3）方程x2－9＝的解組成的集合；
（4）；［來源：Zxxk。Com］
（5）．
活動：教師指導學生思考列舉法的書寫格式，並討論各個集合中的元素．明確各個集合中的元素，寫在大括號內即可．
提示學生注意：［來源：Zxxk。Com］
（2）中滿足條件的數通常按從小到大排列時，從第二個數起，每個數比前一個數大3；
（4）中除去1和本身外沒有其他的約數的正整數是質數；
（5）中3－x是6的約數，6的約數有±1，±2，±3，±6。
解：（1）滿足題設條件小於5的正奇數有1、3，故用列舉法表示為；
（2）能被3整除且大於4小於15的自然數有6、9、12，故用列舉法表示為；
（3）方程x2－9＝的解為－3、3，故用列舉法表示為{－3，3}；
（4）15以內的質數有2、3、5、7、11、13，故該集合用列舉法表示為；
（5）滿足63－x∈Z的x有3－x＝±1、±2、±3、±6，解之，得x＝2、4、1、5、、6、－3、9，故用列舉法表示為．
點評：本題主要考查集合的列舉法表示．列舉法適用於元素個數有限個並且較少的集合．用列舉法表示集合：先明確集合中的元素，再把元素寫在大括號內並用逗號隔開，相同的元素寫成一個。
例2用描述法分別表示下列集合：
（1）二次函式y＝x2圖象上的點組成的集合；
（2）數軸上離原點的距離大於6的點組成的集合；
（3）不等式x－7＜3的解集．
活動：讓學生思考用描述法的形式如何表示平面直角座標系中的點，如何表示數軸上的點，如何表示不等式的解．學生板書，教師在其他學生中間巡視，及時幫助思維遇到障礙的同學．必要時，教師可提示學生：
（1）集合中的元素是點，它是座標平面內的點，集合元素代表符號用有序實數對（x，y）來表示，其特徵是滿足y＝x2；（2）集合中元素是點，而數軸上的點可以用其座標表示，其座標是一個實數，集合元素代表符號用x來表示，其特徵是對應的實數絕對值大於6；（3）集合中的元素是實數，集合元素代表符號用x來表示，把不等式化為x＜a的形式，則這些實數的特徵是滿足x＜a。
解：（1）二次函式y＝x2上的點（x，y）的座標滿足y＝x2，則
二次函式y＝x2圖象上的點組成的集合表示為{（x，y）|y＝x2}；
（2）數軸上離原點的距離大於6的點組成的集合等於絕對值大於6的實陣列成的集合，則數軸上離原點的距離大於6的點組成的集合表示為；
（3）不等式x－7＜3的解是x＜10，則不等式x－7＜3的解集表示為．
點評：本題主要考查集合的描述法表示．描述法適用於元素個數是有限個並且較多或無限個的集合．
用描述法表示集合時，集合元素的代表符號不能隨便設，點集的元素代表符號是（x，y），數集的元素代表符號常用x。集合中元素的公共特徵屬性可以用文字直接表述，最好用數學符號表示，必須抓住其實質。
as4alco1（知能訓練）
1．（口答）說出下面集合中的元素：
（1）{大於3小於11的偶數}；
（2）{平方等於1的數}；
（3）．
答案：
（1）其元素為4，6，8，10；
（2）其元素為－1，1；
（3）其元素為1，3，5，15。
2．方程ax2＋5x＋c＝的解集是，則a＝________，c＝________。
解析：方程ax2＋5x＋c＝的解集是，那麼12、13是方程的兩根，
即有（115a11ca），得a＝－6，c＝－1，）那麼a＝－6，c＝－1。
答案：－6－1
3．用列舉法表示下列集合：
（1）所有絕對值等於8的數的集合A；
（2）所有絕對值小於8的整數的集合B。
答案：（1）A＝{－8，8}；
（2）B＝{－7，－6，－5，－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4，5，6，7}．
4．定義集合運算A⊙B＝，設集合A＝，B＝，則集合A⊙B的所有元素之和為（）
A．0 B．6 C．12 D．18
解析：∵x∈A，∴x＝或x＝1。
當x＝，y∈B時，總有z＝0。
當x＝1時，
若x＝1，y＝2時，有z＝6；當x＝1，y＝3時，有z＝12。
綜上所得，集合A⊙B的所有元素之和為＋6＋12＝18。
答案：D
5．分別用列舉法、描述法表示方程組3x＋y＝2，2x－3y＝27）的解集．
解：因3x＋y＝2，2x－3y＝27）的解為x＝3，y＝－7，）
用描述法表示該集合為{（x，y）|3x＋y＝22x－3y＝27）}；
用列舉法表示該集合為{（3，－7）}．
as4alco1（拓展提升）［來源：學§科§網］
問題：集合A＝，判斷下列元素x＝、1
（2）－1、1
（3）－
（2）與集合A之間的關係．
活動：學生先思考元素與集合之間有什麼關係，書寫過程，將元素x化為a＋2b的形式，再判斷a、b是否為整數．描述法表示集合的優點是突出顯示了集合元素的特徵，那麼判斷一個元素是否屬於集合時，轉化為判斷這個元素是否滿足集合元素的特徵即可．
解：由於x＝a＋b2，a∈Z，b∈Z，
∴當a＝b＝時，x＝0。∴∈A。
又1
（2）－1＝2＋1＝1＋2，
當a＝b＝1時，a＋b2＝1＋2，∴1
（2）－1∈A。
又1
（3）－
（2）＝3＋2，
當a＝3，b＝1時，a＋b2＝3＋2，而3 Z，
∴1
（3）－
（2） A。［來源：學。科。網］
∴∈A，1
（2）－1∈A，1
（3）－
（2） A。
點評：本題考查集合的描述法表示以及元素與集合間的關係．
as4alco1（課堂小結）
本節學習了：（1）集合的表示法；（2）利用列舉法和描述法表示集合的步驟．
as4alco1（作業）
課本習題1—1A2、3、4。
設計感想
集合的列舉法和描述法的形式比較容易接受，在設計時注重讓學生自己學習，重點引導學生學習這兩種方法的應用．同時透過解決一系列具體問題，使學生自己體會到集合各種表示法的優缺點；針對不同問題，能選用合適集合表示法．在練習過程中熟練掌握集合語言與自然語言的轉換．教師在教學過程中時時監控，對學生不可能解決的問題，如集合常見表示法的寫法，常見數集及其記法應直接給出，以避免出現不必要的混亂．對學生解題過程中遇到的困難給予適當點撥．引導學生養成良好的學習習慣，最大限度地挖掘學生的學習潛力是我們教師的奮鬥目標．
備課資料
［備選例題］
例1 判斷下列集合是有限集還是無限集，並用適當的方法表示．
（1）被3除餘1的自然陣列成的集合；
（2）由所有小於20的既是奇數又是質數的正整陣列成的集合；
（3）二次函式y＝x2＋2x－10的圖象上的所有點組成的集合；
（4）設a、b是非零實數，求y＝a|a|＋b|b|＋ab|ab|的所有值組成的集合．
思路分析：本題主要考查集合的表示法和集合的分類．用列舉法與描述法表示集合時，一要分清元素是什麼，二要明確元素滿足的條件是什麼．
解：（1）被3除餘1的自然數有無數個，這些自然數可以表示為3n＋1（n∈N）．用描述法表示為．
（2）由題意得滿足條件的正整數有：3，5，7，11，13，17，19，則此集合中的元素有7個，用列舉法表示為．
（3）滿足條件的點有無數個，則此集合中有無數個元素，可用描述法來表示．通常用有序數對（x，y）表示點，那麼滿足條件的點組成的集合表示為{（x，y）|y＝x2＋2x－10}．
（4）當ab＜時，y＝a|a|＋b|b|＋ab|ab|＝－1；當ab＞時，則a＞，b＞或a＜，b＜0。
若a＞，b＞，則有y＝a|a|＋b|b|＋ab|ab|＝3；若a＜，b＜，則有y＝a|a|＋b|b|＋ab|ab|＝－1。∴y＝a|a|＋b|b|＋ab|ab|的所有值組成的集合共有兩個元素－1和3。則用列舉法表示為{－1，3}．
例2 定義A－B＝，若M＝，N＝，試用列舉法表示集合N－M。
解析：應用集合A－B＝與集合A、B的關係來解決．依據定義知N－M就是集合N中除去集合M和集合N的公共元素組成的集合．觀察集合M、N，它們的公共元素是2、3，集合N中除去元素2、3還剩下元素6，則N－M＝．
答案：．
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