01、

楊輝，字謙光，錢塘人，是南宋傑出的數學家和數學教育家。但是，古代中國比較注重治國安邦及文學方面的素養，對於物理、化學、數學等科學技術則缺少關注，因此史書上對楊輝這個人並沒有過多的記載，我們只知道他曾擔任過地方行政官員，為政清廉，足跡遍及蘇杭一帶。

在1261年到1275年的這15年時間裡，楊輝獨立完成了5部數學著作，分別是《詳解九章演算法》、《日用演算法》、《乘除通變本末》、《田畝比類乘除捷法》，以及《續古摘奇演算法》。

唐代中期以後，社會經濟蓬勃發展，手工業和商業也迅速興盛起來，人們急需一種便於掌握，又方便快捷的計算方法，因此，中晚唐時期出現了不少實用的算術書籍，只可惜這些書籍大多都已失傳。

唯一流傳至今的《韓延算術》，大約編寫於公元770年前後，書中介紹了很多乘除捷演算法的例子。比如，某數乘以42可以化為某數乘以6，再乘以7；某數除以12可以化為某數除以2，再除以6。

楊輝在前人的基礎上，進一步發展了乘除捷演算法，提出了“相乘六法”，比如，對於乘數末位為一的兩位數乘法，可以透過乘法分配律，將多位數乘法化為一位數乘法和加法，舉個例子，257×21=257×20十257。

再比如，當乘數為9、8、7時，可以用10與被乘數相乘，再減去被乘數的1、2、3倍。

楊輝對各種乘除捷演算法的總結及改進，大大加快了人們的運算速度，同時促進了運算工具的改革，一種更為方便快捷的運算工具——算盤應運而生，到了元末時期，已經廣為流行。

這就是楊輝在數學方面的第一個重要成就。

02、

楊輝在數學方面的第二個重要成就在幻方方面，他是世界上第一個討論幻方的構成規律，並依據規律排出豐富的幻方的數學家。

幻方，又稱縱橫圖，最早起源於中國，一般是方形的，行數與列數相等，各行各列的數字之和也相等。

縱橫圖有幾行，就稱為幾階。我國最早的縱橫圖是漢代的“九宮圖”，它是三階的，每行每列的數字之和為15，對角線上的數字之和也是15。由於有這樣奇妙的性質，宋代的理學家們便把它與《固易》中的“河出圖，洛出書”聯絡起來，認為九宮圖即天生的神物——洛書。

在13世紀以前，中國數學家們並沒有認真對待這張圖，只把它看成一種數字遊戲，甚至覺得它籠罩著一層神秘的色彩。

楊輝卻孜孜不倦地探索幻方的性質，以自己的研究成果證明，這種圖形是有規律的。

楊輝不僅給出了這些圖的編造方法，而且對一些圖的一般構造規律有所認識，打破了幻方的神秘性，這是世界上對幻方最早的系統研究和記錄。自楊輝以後，明清兩代中算家關於縱橫圖的研究相繼不斷。

說起楊輝的這一成就，還有一個有趣的小故事。

有一天，楊輝作為台州府的地方官，出外巡遊，銅鑼開道，大轎抬起，好不威風。可是走著走著，卻被一個孩童擋住了去路，孩童說先生給自己佈置了一道題目，題目是這樣的，“把1到9的數字分三行排列，不論直著加，橫著加，還是斜著加，結果都等於15。”

那孩童正算到關鍵之處，不料楊輝的隊伍過來了，孩童怕楊輝的隊伍過去之後，會把自己的算式踩掉，自己就想不起來該怎麼計算了，所以就攔住了楊輝的去路，一定要將自己的題目算完才肯讓楊輝的隊伍過去。

於是楊輝就下了轎子，幫這孩童一起計算，直到天已過午，才完成了這道題目。楊輝想要拜訪一下這孩童的先生，卻得知孩子家境貧寒，沒錢讀書，只能趁給地主家放牛時，偷偷地躲在學生的窗下偷聽，今天上午先生出了這道題，這孩童用心自學，終於把它解決了。

楊輝聽了很感動，帶著孩童找到先生，說了這孩子的情況，又掏出銀兩，給孩童交了學費。教書先生對楊輝的清廉為人非常敬佩，於是倆人談論起數學。

交談中楊輝得知方才和孩童做的那道題出自《大戴禮》，這雖然是一部記載各種禮儀制度的文集，但其中也包含著一定的數學知識。

南北朝的甄鸞在《數術記遺》一書中就寫過：“九宮者，二四為肩，六八為足，左三右七，戴九履一，五居中央。”

楊輝發現書中內容正與上午他和孩童擺的數字一樣，於是詢問先生是否可知道這個九宮圖是如何造出來的？但教書先生也不知出處。

楊輝回到家中，反覆琢磨，一有空閒就在桌上擺弄著這些數字，終於發現了九宮圖的規律。按照類似的規律，楊輝後來又得到了“五五圖”、“六六圖”、“衍數圖”、“易數圖”、“九九圖”、“百子圖”等許多類似的圖。

楊輝把這些圖總稱為縱橫圖，並於1275年寫進自己的數學著作《續古摘奇演算法》一書中，並流傳後世。

楊輝不僅是一位著述甚豐的數學家，同時還是一位傑出的數學教育家。他在詳解《九章算術》的基礎上，專門增加了一卷，將《九章》中的246個問題，按照解題方法的難易程度，重新分為九類。

他一生致力於數學教育和數學普及，其著述有很多是為了數學教育和普及而寫。《演算法通變本末》中載有楊輝專門為初學者制訂的“習算綱目”，集中體現了楊輝的數學教育思想和方法。楊輝的幾部著作極大地豐富了我國古代數學寶庫，為數學科學的發展做出了卓越的貢獻，不愧為“宋元四大家”之一。

03、

相比楊輝對數學研究的持之以恆，秦九韶的學術生涯就比較短暫了。

他出生在四川，青少年時期飽受戰爭之苦，成年後離開四川，考中進士，在湖北、安徽、江蘇、福建等地做官。晚年受賈似道打擊，貶於梅州，五年後死於梅州，時年61歲。

37歲時，秦九韶的母親去世，他離任返回湖州，為母親守孝三年，在這段時間裡，他刻苦研究數學，寫出了全面超越《九章算術》的傳世之作——《數書九章》。

《數書九章》與《九章算術》一樣，密切聯絡社會實際，但《數書九章》中的問題的深度和廣度遠遠超過了《九章算術》，書中的不少數學成果都是世界領先的，其中最重要的兩項成果是“正負開方術”和“大衍術”。

正負開方術，又稱“秦九韶演算法”，實際上是一套求高次方程整根的方法。

古時候，人們將解方程稱為“開方”。我們都知道，一次和二次方程是好解的，三次方程就比較難了，解三次以上的方程更是難上加難。秦九韶卻在前人基礎上，總結出一套十分精確的可以解任意次方程的方法，只不過在這一過程中，要反覆進行正、負數運算，所以稱為“正負開方術”。

大衍術又稱大衍法，實際上是一套求解一次同餘式方程組的完整程式。

什麼叫同餘呢？舉個例子，9除以5餘4，14除以5也餘4，我們就認為9和14對5來說是同餘的。含有同餘關係的式子叫同餘式，同餘式和方程式一樣，可以分為一次、二次、三次等等，幾個同餘式聯立，就成為同餘式組。

中國古代重要的數學著作《孫子算經》中有一道聞名世界的“物不知數”題，題目大意是：某數被3除餘2，被5除餘3，被7除餘2，問這個數是多少？

這其實是由三個一次同餘式構成的同餘式組，答案是23，但書中求出答案的方法含有試猜的成分，不是普遍適用的。

秦九韶的功績，就在於他研究了各種形式的一次同餘式組，發明了一套普遍適用的完整程式，可以求出此類問題的準確答案。

“大衍求一術”是中世紀世界數學的成就之一，比西方1801年著名數學家高斯建立的同餘理論早554年，被西方稱為“中國剩餘定理”。

縱觀秦九韶一生，他可以稱得上是一位學識淵博、多才多藝的學者，尤其在數學上，做出了卓越貢獻。他研究數學不是為了做官，也不僅僅是出於興趣，而是為了應用，為了解決老百姓在社會生活中遇到的實際問題。

他千萬百計地使自己的學問為社會服務，所提出的大衍求一術、正負開方術及其名著《數書九章》，是中國數學史、乃至世界數學史上光彩奪目的一頁，對後世數學發展產生了深刻而廣泛的影響。

秦九韶的數學成就已得到世界公認，清代著名數學家陸心源稱讚說：“秦九韶能於舉世不談演算法之時，講求絕學，不可謂非豪傑之士。”

美國的著名科學史家薩頓這樣評價秦九韶：“他是他那個民族，他那個時代，並且確實也是所有時代最偉大的數學家之一。”

參考資料：

百度詞條“楊輝”

百度詞條“秦九韶”

管成學、趙驥民，《中國數學史上最光輝的篇章：李冶、秦九韶、楊輝、朱世傑的故事》，吉林科學技術出版社