答案：在一個三角形中，如果只知道兩邊邊長，並且沒有別的隱含條件，我們是無法求出第三邊邊長的，我們只能求得第三邊的範圍！

在初中我們學過三角形三邊關係，在一個三角形中，任意兩邊之和大於第三邊任意兩邊之差小於第三邊。

幾何表述

設三角形三邊為a，b，c則

a+b>c，a>c-b

b+c>a，b>a-c

a+c>b，c>b-a

三邊關係證明

如圖，

任意△ABC，求證AB+AC>BC。

證明：在BA的延長線上取AD=AC

則∠D=∠ACD（等邊對等角）

∵∠BCD>∠ACD

∴∠BCD>∠D

∴BD>BC（大角對大邊）

∵BD=AB+AD=AB+AC

∴AB+AC>BC

三邊關係題型

①利用三邊關係可以判斷三條線段能否組成三角形

②已知兩邊長求第三邊的長或取值範圍

③證明線段不等關係，化簡絕對值、求等腰三角形的邊長及周長等．

題型一 判斷三條線段能否組成三角形

1．下列每組數分別是三根木棒的長度，能用它們擺成三角形的是（）

A．3 cm，4 cm，8 cm

B．8 cm，7 cm，15 cm

C．5 cm，5 cm，11 cm

D．13 cm，12 cm，20 cm

2．下列長度的三條線段不能組成三角形的是（）

A．5，5，10 B．4，5，6

C．4，4，4 D．3，4，5

3．已知下列四組三條線段的長度比，則能組成三角形的是（）

A．1∶2∶3 B．1∶1∶2

C．1∶3∶4 D．2∶3∶4

題型二 求三角形第三邊的長或取值範圍

4．若a，b，c為△ABC的三邊長，且滿足|a－4|＋（b－2）＝0，則c的值可以為（）

A．5 B．6 C．7 D．8

5．如果三角形的兩邊長分別為3和5，則周長l的取值範圍是（）

A．6＜l＜15 B．6＜l＜16

C．11＜l＜13 D．10＜l＜16

6．一個三角形的兩邊長分別為5 cm和3 cm，第三邊的長是整數，且周長是偶數，則第三邊的長是（）

A．2 cm或4 cm B．4 cm或6 cm

C．4 cm D．2 cm或6 cm

題型三解決等腰三角形相關問題

7．【中考·宿遷】若等腰三角形中有兩邊長分別為2和5，則這個三角形的周長為（）

A．9 B．12

C．7或9 D．9或12

8．【中考·衡陽】已知等腰三角形的兩邊長分別為5和6，則這個等腰三角形的周長為（）

A．11 B．16

C．17 D．16或17

9．已知在△ABC中，AB＝5，BC＝2，且AC的長為奇數．

（1）求△ABC的周長；

（2）判斷△ABC的形狀．

題型四 三角形的三邊關係在代數中的應用

10．已知a，b，c是△ABC的三邊長，b，c滿足（b－2）＋|c－3|＝0，且a為方程|x－4|＝2的解，求△ABC的周長．

題型五 利用三角形的三邊關係說明線段的不等關係

11．如圖，已知D，E為△ABC內兩點，試說明：AB＋AC＞BD＋DE＋CE。

答案

1．D2。A3。D

4．A點撥：∵|a－4|＋（b－2）2＝0，∴a－4＝0，b－2＝0，

∴a＝4，b＝2。則4－2

5．D點撥：設第三邊的長為x，則2＜x＜8，所以周長l的取值範圍是3＋5＋2＜l＜3＋5＋8，即10＜l＜16。

6．B7。B8。D

9．解：（1）因為AB＝5，BC＝2，所以3＜AC＜7。

又因為AC的長為奇數，所以AC＝5。

所以△ABC的周長為5＋5＋2＝12。

（2）△ABC是等腰三角形．

10．解：因為（b－2）2≥0，|c－3|≥0，且（b－2）2＋|c－3|＝0，

所以（b－2）2＝0，|c－3|＝0，

解得b＝2，c＝3。

由a為方程|x－4|＝2的解，可知a－4＝2或a－4＝－2，

即a＝6或a＝2。

當a＝6時，有2＋3＜6，不能組成三角形，故舍去；

當a＝2時，有2＋2＞3，符合三角形的三邊關係．

所以a＝2，b＝2，c＝3。

所以△ABC的周長為2＋2＋3＝7。

11．解：如圖，將DE向兩邊延長分別交AB，AC於點M，N，

在△AMN中，AM＋AN＞MD＋DE＋NE；①

在△BDM中，MB＋MD＞BD；②

在△CEN中，CN＋NE＞CE；③

①＋②＋③，得AM＋AN＋MB＋MD＋CN＋NE＞MD＋DE＋NE＋BD＋CE，所以AB＋AC＞BD＋DE＋CE。