e的x次方泰勒展開式是f（x）=e^x= f（0）+ f′（0）x+ f″（0）x / 2！+……+ f（0）x^n/n！+Rn（x）=1+x+x^2/2！+x^3/3！+……+x^n/n！+Rn（x）。

冪級數的求導和積分可以逐項進行，因此求和函式相對比較容易。一個解析函式可被延伸為一個定義在複平面上的一個開區域上的泰勒級數透過解析延拓得到的函式，並使得複分析這種手法可行。泰勒級數可以用來近似計算函式的值。

泰勒公式，是一個用函式在某點的資訊描述其附近取值的公式。如果函式滿足一定的條件，泰勒公式可以用函式在某一點的各階導數值做係數構建一個多項式來近似表達這個函式。

泰勒公式是數學分析中重要的內容，也是研究函式極限和估計誤差等方面不可或缺的數學工具，泰勒公式集中體現了微積分“逼近法”的精髓，在近似計算上有獨特的優勢。

利用泰勒公式可以將非線性問題化為線性問題，且具有很高的精確度，因此其在微積分的各個方面都有重要的應用。泰勒公式可以應用於求極限、判斷函式極值、求高階導數在某點的數值、判斷廣義積分收斂性、近似計算、不等式證明等方面。

求下列函式f（x）在x=0處帶拉格朗日餘項的n階泰勒公式：

（1）f（x）=（1-x）/（1+x）

（2）f（x）=e^x*sinx

求帶拉格朗日餘項的n階泰勒公式，實質上要求n階導數表示式。

f（x）=sinx的n階麥克勞林公式是f（x）=sinx在x=0處的泰勒展開式，而sin（x）的偶次導數在x=0處的值是0，所以只有奇數次導數非零。至於最後的餘項，也一定是sin（x）的奇數次導數。所以令n=2m就代表了2m+1次精度，倒數第二項中的（-1）^（m-1）是根據規律推出來的，因為它是對sin（x）求過2m-1次導數後的係數，每求2次導都會產生一個（-1），所以求了2m-1次導，就產生了m-1個-1。