知識點：

充分條件與必要條件

我們已經接觸過很多形如“如果p，那麼q“也常常記為“如果p，則q”或“若p，則q“的命題，例如：

（1）如果兩條直線都與第三條直線平行，那麼這兩條直線也互相平行；

（2）在直角三角形中，如果一個銳角等於30°”，那麼這個銳角所對的直角邊等於斜邊的一半；

（3）如果x>2，那麼x>3；

（4）如果a>b且c>0，那麼ac>b。

在“如果p，那麼q”形式的命題中，p稱為命題的條件，q稱為命題的結論，若“如果p，那麼q”是一個真命題，則稱由p可以推出q。記作p⇒q，讀作“p推出q“，否則，稱由p推不出q，記作p⇏q，讀作“p推不出q”

例如，上述例子中，（1）是一個真命題，即“兩條直線都與第三條直線平行”可以推出“這兩條直線也互相平行”，這也可記作“兩條直線都與第三條直線平行⇒這兩條直線也互相平行”；而（3）是一個假命題，即x>2推不出x>3，這也可記作x>2⇏ x>3

請各位判斷一下命題（2）（4）的充分性和必要性吧！

當p⇒q時，我們稱p是q的充分條件，q是p的必要條件；當p⇏q時，我們稱p不是9的充分條件，q不是p的必要條件，事實上，前述情境與問題中的“充分”“必要”與這裡的充分條件、必要條件表示的是類似的意思。

因此，“如果p，那麼q“是真命題，p⇒q，p是q的充分條件，q是p的必要條件，這四種形式的表達，講的是同一個邏輯關係，只是說法不同而已。

例如，設A=，B=。

A⊆B，所以“x是在北京市出生的人”可以推出“x是在中國出生的人”。

充分條件、必要條件還與數學中的判定定理、性質定理有關。

例如：“如果一個函式是正比例函式，那麼這個函式是一次函式”可以看成一個判定定理，這指的是，只要函式是正比例函式，那麼就可以判定這個函式是一次函式，不難看出，判定定理實際上是給出了一個充分條件，上例中，“函式是正比例函式”是“函式是一次函式”的充分條件。

而“矩形的對角線相等”可以看成一個性質定理。這指的是，只要一個四邊形是矩形，那麼這個四邊形的對角線一定相等，不難看出，性質定理實際上給出了一個必要條件，上例中，“四邊形的對角線相等”是“四邊形是矩形”的必要條件。

一般地，如果p⇒q且q⇏p，則稱p是q的充分不必要條件

如果p⇏q且q⇒p，則稱p是q的必要不充分條件

如果p⇒q且q⇒p，則稱p是q的充分必要條件（簡稱為充要條件）

記作p⇔q，也讀作“p與q等價”“p當且僅當q”

另外，充要條件與數學中的定義有關，例如，“三條邊都相等的三角形稱為等邊三角形”是等邊三角形的定義，這就意味著，只要三角形的三條邊都相等，那麼這個三角形一定是等邊三角形；

反之，如果一個三角形是等邊三角形，那麼這個三角形的三條邊都相等，不難看出，一個數學物件的定義實際上給出了這個物件的一個充要條件，上例中，“三角形的三條邊都相等”是“三角形是等邊三角形”的充要條件。

注意到“三角形的三個角相等”也是“三角形是等邊三角形”的一個充要條件，因此我們也可以將等邊三角形定義為：“三個角都相等的三角形稱為等邊三角形。“

補充一個知識點：逆命題，否命題，逆否命題。

一個命題：若p，則q。

則它的逆命題：若q，則p。

則它的否命題：若ㄱp，則ㄱq。【回收伏筆1】

則他的逆否命題：若ㄱq，則ㄱp。

一個命題和它的逆否命題等價，其真假與逆命題/否命題無直接關係。

易知：一個命題的逆命題與否命題等價（它們互為逆否命題）

請寫出“所有矩形都是平行四邊形“的逆命題，否命題，逆否命題。

逆命題：如果一個四邊形是平行四邊形，那麼它是矩形。

否命題：如果一個四邊形不是矩形，那麼它不是平行四邊形。

逆否命題：如果一個四邊形不是平行四邊形，那麼它不是矩形。

影片教學：

練習：

練習A

1。設區間判斷 是否是 的充分條件和必要條件。

2。說明下述命題是否可以看成判定定理或性質定理，如果可以，寫出其中涉及的充分條件或必要條件：

（1）形如的（b是常數）函式是二次函式；

（2）菱形的對角線互相平分。

3。下列各題中，p是q的什麼條件（“充分不必要條件”“必要不充分條件”“充要條件”“既不充分也不必要條件”，下同）？

（1）

（2）有意義

（3）

4。有兩個角之和為90°的三角形稱為直角三角形”是否可以作為直角三角形的定義？為什麼？

練習B

1。下列各題中，p是q的什麼條件？

（1）

（2）

（3）

2下列各題中，p是q的什麼條件？

（1）

（2）

（3） P：兩個三角形全等，q：兩個三角形面積相等

3。寫出a>b的一個充分不必要條件，以及一個必要不充分條件。

課件：

教案：

［說明］透過練習，及時鞏固所學新知，反饋教學效果。

板書設計

§1。5 （1）充分條件與必要條件

1、充分條件：

如果α⇒β，那麼α叫做β的充分條件。                  舉例

2、必要條件：

如果β⇒α，那麼α叫做β的必要條件                    練習

3、（1）α⇒β，而β⇏α； 充分不必要條件

（2）α⇏β，而β⇒α； 必要不充分條件              小結

（3）α⇒β，又有β⇒α；充分又必要條件

（4）α⇏β，又有β⇏α既不充分也不必要條件        作業

課後作業

（一）課本P/19習題1。5——1，2，3。

（二）1。預習內容：課本P21～P22§1。5 （2）

2。預習提綱：充要條件定義

小結

1、本節課主要研究的內容：

推斷符號，⇏

充分條件的意義                 命題充分性、必要性的判斷。

必要條件的意義

3、充分條件、必要條件判別步驟：

① 認清條件和結論。

② 考察p      q和q      p的真假。

3、充分條件、必要條件判別技巧：

① 可先簡化命題。

② 否定一個命題只要舉出一個反例即可。

③ 將命題轉化為等價的逆否命題後再判斷。

教後記  ：由於這節課概念性、理論性較強，一般的教學使學生感到枯燥乏味，為此，激發學生的學習興趣是關鍵。教學中始終要注意以學生為主，結合相關學科及學生生活經驗讓學生在自我思考、相互交流中去給概念“下定義”，去體會概念的本質屬性。

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