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2021年隨州

中考數學幾何壓軸題。本題以等積法為背景，考查等積法的應用。由淺入深，值得學習。

【中考真題】

（2021•隨州）等面積法是一種常用的、重要的數學解題方法．它是利用“同一個圖形的面積相等”、“分割圖形後各部分的面積之和等於原圖形的面積”、“同底等高或等底同高的兩個三角形面積相等”等性質解決有關數學問題，在解題中，靈活運用等面積法解決相關問題，可以使解題思路清晰，解題過程簡便快捷．

（1）在直角三角形中，兩直角邊長分別為3和4，則該直角三角形斜邊上的高的長為，其內切圓的半徑長為；

（2）①如圖1，

是邊長為

的正

內任意一點，點

為

的中心，設點

到

各邊距離分別為

，

，

，連線

，

，

，由等面積法，易知，可得

；（結果用含

的式子表示）

②如圖2，

是邊長為

的正五邊形

內任意一點，設點

到五邊形

各邊距離分別為

，

，

，

，

，參照①的探索過程，試用含

的式子表示

的值．（參考資料：

，

（3）①如圖3，已知

的半徑為2，點

為

外一點，

，

切

於點

，弦

，連線

，則圖中陰影部分的面積為；（結果保留

②如圖4，現有六邊形花壇

，由於修路等原因需將花壇進行改造，若要將花壇形狀改造成五邊形

，其中點

在

的延長線上，且要保證改造前後花壇的面積不變，試確定點

的位置，並說明理由．

【分析】

（1）用兩種方法表示直角三角形的面積可以得到h=ab/c。

（2）①用分割法求三角形的面積，進而得到等量關係。

②先用三角函式表示出正五邊形的高，再求面積，根據等面積法得到結論。

（3）①根據BC∥OA，可以將陰影部分面積轉化為扇形BOC的面積即可。

②本題其實是將三角形DEF的面積進行轉化，轉化為有一個頂點G在AF上的另一個三角形的面積即可。參考①中的方法，透過構造平行線進行轉化。

【答案】

解：（1）如圖所示，

，

，

，

，設斜邊上高為

，由等面積法可知：

，

．

設其內切圓半徑為

，利用分割圖形後各部分的面積之和等於原圖形的面積可得：

．

即，

即

，

．

故答案為：

，1；

（2）①：由已知中圖可知，

的面積為

，

由等面積法，易知，

解得：

．

故答案為：

．

②：類比①中方法可知，

設點

為正五邊形

的中心，連線

，

，如圖2．

易知

，

過

作

於點

，

，

故

，，

故，從而得到：

．

（3）①：若以

作為

和

的底，則

和

等高，

．

圖中陰影部分的面積即為扇形

的面積．

切

於點

，

，

又

，

，

，

，

，

，

為等邊三角形．

，

．

故陰影部分面積為

．

故答案為：

．

②如圖3，連線

，過點

作

交

的延長線於點

，則點

即為所求．

連線

，

，

，

，

．